Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M sao cho 3 M A 2 + 2 M B 2 - M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M = 3 4 ; 1 2 ; - 1
B. M = 3 4 ; 1 2 ; 2
C. M = - 3 4 ; 3 2 ; - 1
D. M = - 3 4 ; 1 2 ; - 1
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1). Tìm điểm M sao cho 3MA2 + 2MB2 - MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A . M 3 4 ; 1 2 ; - 1
B . M - 3 4 ; 1 2 ; 2
C . M - 3 4 ; 3 2 ; - 1
D . M - 3 4 ; 1 2 ; - 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 0 ; 0 ; − 1 , B − 1 ; 1 ; 0 , C 1 ; 0 ; 1 . Tìm điểm M sao cho 3 M A 2 + 2 M B 2 − M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M 3 4 ; 1 2 ; − 1
B. M − 3 4 ; 1 2 ; 2
C. M − 3 4 ; 3 2 ; − 1
D. M − 3 4 ; 1 2 ; − 1
Đáp án D
Gọi I x I ; y I ; z I thỏa mãn điều kiện 3 I A ¯ + 2 I B ¯ − I C ¯ = 0 ¯ ⇒ I − 3 4 ; 1 2 ; − 1
Ta có P = 3 M A 2 + 2 M B 2 − M C 2 = 3 M I ¯ + I A ¯ 2 + 2 M I → + I B ¯ 2 − M I ¯ + I C ¯ 2
= 4 M I 2 + 2 M I ¯ 3 I A ¯ + 2 I B ¯ − I C ¯ ⏟ 0 + 3 I A 2 + 2 I B 2 − I C 2 = 4 M I 2 + 3 I A 2 + 2 I B 2 − I C 2
Suy ra P min ⇔ M I min ⇒ M trùng với điểm I. Vậy M − 3 4 ; 1 2 ; − 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) và mặt phẳng P : x + y + z = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho M A 2 + M B 2 + M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ:
A. M(1;1;-1)
B. M(1;1;1)
C. M(1;2;-1)
D. M(1;0;-1)
Đáp án D.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G(2;1;0)
Ta có:
Từ hệ thức trên ta suy ra: M A 2 + M B 2 + M C 2 đạt GTNN
⇔ MG đạt GTNN ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên (P)
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Tìm trên (P) điểm M sao cho M A 2 + M B 2 + M C 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ:
A. M(1;1;-1)
B. M(1;1;1)
C. M(1;2;-1)
D. M(1;0;-1)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow G\left(2;1;0\right)\)
\(T=MA^2+MB^2+MC^2\)
\(T=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)
\(T=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)
\(T=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)
Do \(GA^2+GB^2+GC^2\) cố định nên \(T_{min}\) khi \(MG_{min}\)
\(\Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của G lên (P)
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc (P) \(\Rightarrow\) pt (d): \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{matrix}\right.\)
M là giao điểm (d) và (P) nên thỏa mãn:
\(2+t+1+t+t=0\Leftrightarrow t=-1\) \(\Rightarrow M\left(1;0;-1\right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;0;1), B(1;1;-1), C(5;0;-2). Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH theo thứ tự đó lập thành hình thang cân với hai đáy AB, CH.
A. H(3;-1;0)
B. H(7;1;-4)
C. H(-1;-3;4)
D. H(1;-2;2)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(-1;0;1),B(3;2;1),C(5;3;7). Gọi M(a;b;c) là điểm thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm P=a+b+c ?
A. P = 4.
B. P = 0
C. P = 2
D. P = 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(3;2;-1), B(5;4;3). M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho A M B M = 2 . Tìm tọa độ của điểm M.
A. (7;6;7)
B. 13 3 ; 10 3 ; 5 3
C. - 5 3 ; - 2 3 ; 11 3
D. (13;11;5)
Đáp án A.
M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho A M B M = 2 nên B là trung điểm của AM.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Tìm tọa độ vectơ A B →
A. A B → =(0;1;0)
B. A B → =(1;1;2)
C. A B → =(1;0;-2)
D. A B → =(-1;0;2)